力学系の勉強 (SCHWARZIAN DERIVATIVE)
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/511qMG7q72L._SX377_BO1,204,203,200_.jpg
を読んで理解した内容について書きたいと思います。
【記法】
関数（写像）$ f, g に対して$ f\circ g(x) := f(g(x))とします。
$ 0より大きい整数$ nに対して$ f^n := \underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ f}_{n個}.
$ f^0(x) := x
$ fが全単射のとき（i.e. 逆写像をもつ）とき、$ 0より大きい整数$ nに対して$ f^{-n} := \underbrace{f^{-1}\circ f^{-1}\circ\cdots\circ f^{-1}}_{n個}.
点$ xが点$ pの（$ fに関する）軌道の一点である。
$ \Leftrightarrow {}^{\exist}i > 0\ \ s.t.\ \ x = f^{i}(p)
§1.11 THE SCHWARZIAN DERIVATIVE
Schwarzian derivative を使って力学系の解析をするセクション。
【定義 1】
関数$ fの $ xにおける Schwarzian derivative $ S f(x) とは
$ S f(x) = \frac{f'''(x)}{f'(x)} - \frac{3}{2}\left( \frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2.
Schwarzian derivative は次の性質から力学系の解析に便利
【命題 2】
$ f, gを関数とする。$ Sf < 0かつ$ Sg < 0ならば$ S(f\circ g) < 0
(証明)
$ S(f\circ g)と$ (S(f)\circ g)\cdot (g')^2 + Sgは定義に沿って書き下すと一致するので、
$ S(f\circ g)=(S(f)\circ g)\cdot (g')^2 + Sg
$ Sf<0より$ (S(f)\circ g) < 0。よって$ S(f\circ g) < 0
上の命題より$ Sf < 0ならば任意の$ n > 1に対して$ Sf^n < 0
【補題 3】
$ Sf < 0ならば$ f'(x)は正の極小値と負の極大値を持たない
(証明)
$ x_oが$ f'の臨界点と仮定する。（$ x_oが$ fの臨界点とは$ f'(x_o) = 0）
すなわち$ f''(x_o) = 0.
$ Sf(x_o) < 0であるから、$ f'''(x_o)/f'(x_o) < 0を得る。
よって$ f'''(x_o)と$ f'(x_o)は別の符号である。
上の補題から、連続した２つの$ f'の臨界点の間には$ fの臨界点が必ず存在する。
【補題 4】
$ f(x)が高々有限個の臨界点をもつならば、$ f^m(x)の臨界点も高々有限個である（$ mは0以上の整数）
(証明)
$ f(x)は高々有限個の臨界点しか持たないので、任意の実数$ cに対して$ f^{-1}(c)は実数の有限集合である。
それゆえ、$ cの逆像の任意の二点の間にはかならず$ fの臨界点が少なくとも１つ存在する。
$ cの逆像の濃度が2以上を仮定している？Totti95U.icon
原文は「(前略), since, between any two preimages of $ c, there must be at least one critical point of $ f.」
それゆえ、直ちに$ f^{-m}(c)=\left\{ x| f^m(x) = c \right\}は有限集合であると分かる。
$ (f^m)'(x) = 0であると仮定する。合成関数の微分法（連鎖律）より
$ (f^m)'(x) = \prod^{m-1}_{i=0} f'(f^i(x)).
それゆえ、いくつかの$ iに対して、$ f^i(x)は$ fの臨界点である。
従って、$ f^mの臨界点の集合は$ f^i(x)が$ fの臨界点となる$ xの集まりである。
つまり、臨界点の集合を$ Crt_mと表せば、
$ Crt_m = \bigcup^{m-1}_{i=0} \{x|f'(f^i(x)) = 0\}
$ fは高々有限個の臨界点しか持たないので、$ \{x|f'(f^i(x))=0\}は有限集合、ゆえに$ Crt_mもそうである。
これでいけるか？Totti95U.icon
命題 5
$ f(x) は有限個の臨界点をもち $ Sf < 0 と仮定する。このとき、任意の自然数$ mに対して、$ fは高々有限個の周期$ mの周期点をもつ。
(証明)
$ g := f^mとする。こうすることで、$ gの固定点について議論をすればよいことになる。
[命題2より$ Sg < 0.
ここで背理法を用いて証明する。すなわち、$ gが無限に多くの固定点を持っていると仮定する。
そうすると、平均値の定理より$ g'(x) = 1となるような$ xが無限に多く存在する。
また、連続した3つの$ g' = 1となるような点の間には必ず$ g' < 1となるような点が存在するので
$ g'(x)=1だと、$ Sg = 0となり、$ Sg < 0という事実に反するのでそのような区間上では$ g'(x)=1とはならない。_
ここ謎Totti95U.icon
もしくは、補題3 によって、$ g'は正の極小値を$ g'(x) = 1となるような連続した3点の間にもたないので、$ g' < 0となるような点が存在する必要がある。
$ \because常に$ g' > 0ならば正の極小値が存在してしまう。
結果として、その区間上に$ g'=0となるような点が存在する。
これは、$ gが無限に多くの臨界点がぞんざいすることを示唆しているが、これは補題4と矛盾する。
ゆえに、$ gの固定点は高々有限である。
定理 6
$ Sf < 0と仮定する（$ Sf = -\inftyも可）。さらに$ fは$ n個の臨界点を持つと仮定する。このとき、$ fはせいぜい$ n + 2個の吸引的な周期軌道を持つ。
(証明)
$ pを$ fの周期$ mの吸引的周期点とする。
さらに、$ W(p)を全ての点が$ f^mの反復によって$ pに漸近していくような最大の区間とする。
（言い換えると、$ W(p)は$ \left\{ x|f^{mj}(x)\to p\ (j \to \inf) \right\}という集合の連結成分。）
明らかに$ W(p)は開区間であって、$ f^m(W(p))\subset W(p)。
$ \because(開区間であること)
開区間でないと仮定して矛盾を示す。そのために$ x\in W(p)が$ f^{mj} \to pであって、$ \lim_{a \to x+, j \to \infty} f^{mj}(a)\not\to pてあると仮定する。（つまり$ W(p) = (something, x]としている。）
このとき、任意の$ \epsilon > 0に対してある$ \delta > 0が存在して、
$ j > \delta \Rightarrow |f^{mj}(x) - p| < \frac{\epsilon}{2}.
また、$ f^{mj}の連続性より、同じく任意の$ \epsilon > 0に対して、ある$ d>0が存在して、
$ 0 <a-x<d \Rightarrow |f^{mj}(a) - f^{mj}(x)| < \frac{\epsilon}{2}
よって、三角不等式より$ |f^{mj}(a)-p|\leq |f^{mj}(x)-p|+|f^{mj}(a)-f^{mj(x)}|であるから、
任意の$ \epsilon > 0に対してある$ \delta,d > 0が存在して、
$ j>\delta, 0<a-x<d \Rightarrow |f^{mj}(a)-p|<\epsilon
よって$ \lim_{a \to x+, j \to \infty} f^{mj}(a)\to pとなり矛盾。
$ \lim_{a \to x-, j \to \infty} f^{mj}(a)の場合も同様。よって$ W(p)は開区間である。
ここで一時的に$ pを固定点と仮定する。すると$ f(W(p)) \subset W(p)かつ$ W(p)は条件を満たす最大の区間であることから
i)$ fは$ W(p) = (l, r)の端点を保つ。
ii) $ l, rのどちらかもしくは両方が無限大である。
のどちらかを満たす。
i)の場合、次の3つのケースに分けることが出来る。
1. $ f(l)=l, f(r)=r
2. $ f(l)=4, f(r)=l
3. $ f(l)=f(r) <---これよくわからんTotti95U.icon
1. の場合
$ fのグラフは$ l<a<p<b<rかつ$ f'(a) = f'(b)=1を満たす実数$ a, bが存在していることを示す。
(平均値の定理からうりゃーってやっても分かります。)
https://gyazo.com/cb8b859cadfc1719b2e5b5132f35ae08
$ f'(p) < 1かつ$ f'は正の極小値を持たないという事実（補題3）から区間$ (a, b)内に臨界点が存在する。
https://gyazo.com/7841931362a238804b2028005ff0ff24
2. の場合
$ f^2(l) = l, f^2(r) = rが成り立つので同様の議論が$ f^2に対して出来る。つまり、区間$ (a,b)\subset W(p)内に$ f^2の臨界点が存在する。
3. の場合
$ fは区間$ (l, r)内に極値を持つ。
https://gyazo.com/d13c4e212970357dc6bc9d17e0f574ac
ii)の場合 (i.e. $ r, lの どちらか/両方 が無限大)
残念ながら$ W(p)の中に臨界点があるかどうかは証明できない。
しかしこの場合は安定な固定点が最大で2つ追加される。
？？？？？？？？？？？ココ謎Totti95U.icon
しかしこの場合は臨界点の個数に対して安定な固定点の個数が最大で2つ増える。
つまり、定理の主張の$ n+2の$ +2はここから来ているということですね。Totti95U.icon
https://gyazo.com/cea714d136909c34fa0c0d11954d4f05
ここで$ pが周期点であるという仮定に戻る。そうすると固定点であると仮定した時と同様の議論によって$ f^mに対する臨界点が$ W(p)内に存在することが分かる。
この$ f^mに対する臨界点の軌道の少なくとも1点は微分の連鎖律より$ fの臨界点となる。
すなわち、$ cを$ f^mの臨界点とすれば
$ (f^m(c))' = f'(f^{m-1}(c))\cdot f'(f^{m-2}(c)) \cdots f'(c) = 0より、
$ f'(f^{m-1}(c)), f'(f^{m-2}(c)), f'(c)の内の少なくとも１つが$ 0である。
そして、任意の整数$ i \leq 0に対して$ f^{m-i}(c)は臨界点$ cの軌道のうちの1点である。
以上より、周期$ mの周期点の個数$ nに対して、臨界点の個数は$ n -2よりも多いという事が分かる。これは示したかった主張と同値のものである。 q.e.d.
定理6は非双曲型の周期点に拡張しても良い。
双曲型とは、周囲の点が 引き付けられる/離れていく ことを表します。Totti95U.icon
$ f(x)が$ f'(c)=\pm 1となるような固定点$ cを持っていて、$ Sf < 0と仮定する。このとき、$ cは少なくとも片側の点を引き寄せる。そして、定理6の証明と同様に、$ W(c)内に臨界点が存在する。
これを見るためにまず$ f'(c)=1（$ f'(c)=-1のときは$ f^2について考える）を仮定する。補題11.7より$ fは有限個の固定点しか持たない。それゆえ$ c以外の$ fの固定点を持たないような区間が存在する。
$ cの周囲の点が離れていく（これを反発という）固定点 i.e. $ x < cおよび$ cに近い場合、$ f(x)<xとなり、$ y > cに対して$ f(y) > yが成り立つと仮定する。明らかに$ f'はこの場合極小値$ 1をもつ。これは補題3と矛盾していて、$ a<x<cに対して$ f(x)>xであるか$ c<x<bに対して$ f(x)<xであることを示している。
上記の証明は境界のある安定集合をもつ周期点は臨界点を吸引するということを示している。もしも安定集合が境界を持たないならばその限りではない。
系 7
$ F_\mu=\mu x(1-x)と仮定する。このとき、各$ \muに対して高々1個の吸引的な周期軌道が存在する。
(証明)
$ SF_\mu = \frac{-6}{(1-2x)^2}<0である。さらに$ |x|が十分大きければ、$ |F_\mu^n(x)|\to\infである。
これは前の章で証明しました。Totti95U.icon
それゆえ、無限大の安定集合を持つ吸引的周期点は存在しない。そして、$ F_\muの臨界点は$ x=1/2のみである。ゆえに定理6の議論から吸引的な軌道は高々1つである。
$ F_4(x)=4x(x-1)について考える。$ p=3/4は反発的な固定点である。$ \hat p =1/4とすると、明らかに$ f(\hat p)=pである。ここで$ J = [\hat p,p)とする。
ここで$ Rを$ J-\{1/2\}で定義される"最初に戻ってくる写像"として定義していく。
直感的には$ R(x):=F_\mu^n(x)である。ここで$ nは$ F^n_\mu(x)\in Jとなる最小の自然数である。
正確に$ R を定義する。まず$ F_4 は$ J を区間$ [3/4,1] 上に写す。これは$ x\in J であるならば$ F_4(x) \not\in J ということである。今$ F_4 は同相的に$ [3/4, 1] を$ [0, 3/4] に写す。よって、$ J の中の一定の点は$ F^2 によって$ J の中に移し戻される。
確かに、$ F_4^2 によって$ J に同相的に写される2つの区間$ I_2, \hat I_2 が存在する。
https://gyazo.com/c3da044262b7811c2c0d03dd99d84b8c
$ J が$ [,) という形をしているので$ I_2 は$ (,] 、$ \hat I_2 は$ [,) という形をしている。
$ x\in Iだが$ x\not\in I_2\cup \hat I_2の場合、$ F^2_4(x)\in [0, 1/4)。ここで$ F_4は$ [0,1/4)で単調に増加しているということと$ F[0, 1/4)=[0,3/4)であるということから$ x\not = 1/2である限り、$ xの軌道は最終的に$ Jに戻ってくる。より正確には、$ x\in J-\{1/2\}であるならば最小の整数$ n\leq 2が存在して$ F^n_4(x)\in Jを満たす。
$ \phi(x)をこの最小の整数$ nとする。ゆえに$ \phiは$ Jに初めて戻ってくる"期間"を与える。ゆえに$ I_2 \cup \hat I_2上では$ \phi=2である。より一般的に定義すると
$ \begin{aligned}I_n &= \{x\in(1/2,p)|\phi(x)=n\} \\ \hat I_n &= \{x\in[p,1/2)|\phi(x)=n\}\end{aligned}
中央ぞろえにしたいけどどうすれば... 出来た！Totti95U.icon
$ I_n, \hat I_nが半開閉区間であることと$ F_4^nが$ Jに同相に$ I_n, \hat I_nへ写すことを確認するのは簡単である。
って本には書いてあったけどキチンとやろうとするとめんどくさくない？Totti95U.icon
それゆえ、我々は関数$ R:J-{1/2} \to Jを
$ R(x)=F_4^{\phi(x)}(x)
によって定義する。$ Rは$ 1/2で定義されず、無限に多くの不連続点を持つ。それにもかかわらず、関数$ Rをよく理解することで$ F_4についての全ての情報を引き出せることを強調しておく。
各$ F_4^nが負の Schwarzian derivative を持つという事実はその区間上で常に$ (F_4^n)'\not=0となる任意の区間$ Kに対して、$ (F_4^n)'の最小値が$ Kの端点の片方で引き起こされるということ許す。
これは$ Kの端点のどちらかは開であることを示唆しているんですかね？Totti95U.icon
これ、正確には$ (F_4^n)'の正の最小値および負の最大値が$ Kの端点にあると思うんですよね。（次の画像参照）
https://gyazo.com/51632c91dcaa69d3597fa9295ce89026
$ (F_4^3)'の様子。見やすいように0.05倍してます。
命題8
各$ x\in Jに対して$ |R'(x)|>1.
(証明)
$ I_nについてのみ扱う。($ \hat I_nについての結果は対称的に従う。)
$ I_k=[l_k,r_k)とする。
$ W_k:=\bigcup^{\infty}_{n>k}I_n とする。
$ W_kは$ 1/2と$ l_kに境界を持つ開区間である。$ l_k\leq x\leq r_kに対して$ (F^k_4)'(x)>1を示すことがゴールである。
上記で言及した「$ (F_4^n)'\not=0となる任意の区間$ Kに対して、$ (F_4^n)'の最小値が$ Kの端点の片方で引き起こされる」
ということと、$ I_k上で$ (F^k_4)'\not=0ということより$ r_kと$ l_kについて確かめれば十分である。
今、$ F^k_4 は$ I_k\cup W_k を同相に$ (0, p) に写し、$ I_k を同相に$ (\hat p, p) へと写す。$ I_k の長さが$ 1/4 よりも短いことから、$ (F^k_4)'(x_k)>1 となる$ x_k\in I_k が存在する。同様に$ W_k の長さも$ 1/4 よりも短いので$ (F^k_4)'(x'_k)>1 となる$ x'_k\in W_k が存在する。$ (F^k_4)' は正の極小値を持たないので$ x'_k<l_k<x_k より$ (F^k_4)'(l_k)>1 である。
また、
$ \begin{aligned} (F_4^k)'(r_k) &= F_4'(F_4^{k-1}(r_k))\cdot(F_4^{k-1})'(r_k) \\ &= F_4'(\hat p)\cdot(F_4^{k-1})'(l_{k-1}) \end{aligned}
ここで$ F_4'(p)=2 であり、$ l_k に関する議論から$ (F_4^{k-1})'(l_{k-1})>1 であるから、$ (F_4^k)'(r_k)>1 である。
$ F_4 反発的周期点が稠密であるということを示すために、$ U を単位区間$ I 内の任意の区間とする。命題を示すためには$ U に反発的周期点が存在することを示せばよい。それをするためには$ F_4^n(U) が$ U を含む$ n>0 を見つければよい。
$ x\not\in J ならば$ |F'_4(x)|>1 であるから、$ n>0 と部分区間$ U_0\subset U が存在して$ V=F_4^n(U_0)\subset J 。今、$ R は命題8より$ J の長さを拡大する。ゆえに$ R^k(V_0) が$ R の非連続点を含むような$ k>0 と部分区間$ V_0\subset V が存在する。それゆえ$ m>0 が存在して$ p\in F_4^m(V_0) となる。グラフから解析すると、$ p の任意の近傍は最終的に$ F_4 によって拡大され$ I を含むようになる。特にある$ k>0 が存在して、$ F_4^{m+k}(V_0) は$ I を覆う。
例
$ \sin x は負の Schwarzian derivative を持つから、同様の手法で$ S(x)=2\pi\sin x が$ [0,2\pi] でカオスであることが分かる。
例
$ Q_c(x) = x^2+c が$ Q^3_c(0) が反発的固定点$ -p であるという性質を満たすような$ c<0 が存在する。数値的には$ c\approx -1.543689\dots, p\approx 0.839258\dots。
(§1.11本編 終)
内容のことはあまり理解できてないけど、式とかの表示（？）がきれいですごいTotya.icon
力学系なんもわからん、難しいことをやっておられる…miyamonz.icon
力学系に少し興味があるんですがオススメの本とかありますか？Totya.icon
ほぼなんも知らない状態なので緩め（？）だとうれしい
微分方程式と行列をご存知なら Strogatz 先生の「非線形ダイナミクスとカオス」がおススメです（少々高いですが...）Totti95U.icon 一応高専で習いましたが、ちょっとお高めですね…図書館にないか探してみますTotya.icon
ざっくりと概要が知りたいようでしたら動画「Chaos 万物は流転する」がおすすめです。
見たことあるやつだ！Totya.icon
https://www.youtube.com/watch?v=2ggwnlis5oA